大学入試 物理チートシート〜2体問題を攻略。重心から見て考えよう〜

物理の入試問題とか見てて本当に思うんですが、

サトゥー

「2体問題」ってしっかり対策しておくべきだよなぁって思うんですよね

重心系で議論できるように訓練しておかないと、本当に差がついてしまうなぁって思うんです。

てことで、今回は僕なりに「2体問題」と呼ばれる分野について、大学入試の物理で使えそうな知識をまとめてみます。

授業とかでしっかり習っている人はいいんだけど、僕なんかは高校時代まともに習ってなかったから。高校時代に知っておきたかったよなぁと思うんです。
知っているだけでその辺の入試問題はだいたい瞬殺できるようになるのでぜひ習得してみてください。

2体問題とは?

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だれか

「2体問題」ってそもそも何だよ

という方も一定数いると思いますので、まずは「2体問題とはなんぞや」に答えて行きます。
文字通り、2つの物体の運動を考える問題だと思ってくれればいいと思っています。

例えばこんなやつ。

二体問題のシチュエーション
二体問題のシチュエーション

なんか2つのものが動くから、よくわかんなくなりがちだよね。
わかっても、計算がだるかったりとか、とにかく苦手意識を持っている人が少なくない分野です。

サトゥー

こういった問題が一瞬で解けるようになります。

ということで、「2体問題」がどういった問題なのかについてはなんとなーくイメージできたでしょうかね。
相互作用を及ぼしながら運動する 2 物体を一つの系とみなして議論していく問題です。

ここから、まずは一般的な議論をして、そこから実際の入試問題で「どのように問題を解いていくのか」を見ていきたいと思います。

一般論

まず先に、2体問題の結論から言ってしまうと次のようになります。

結論

2体問題では、個々の粒子の運動を考える代わりに、「重心運動」と「相対運動」に分離して考えることで、カンタンに議論できる!

図のような状況を考えます。

二体問題の基本的な力図

2つの物体1,2があります。
物体1の質量は \(m_1\) 、物体2の質量は \(m_2\) で、それぞれの位置は \(\vec{r_1}, \vec{r_2}\) とします。
また、物体1が系の外部から受ける合力を \(\vec{F_1}\) 、物体1が物体2から受ける力を \(\vec{F_{12}}\) とします。物体2についても同様に力を定めます。
図に書いてあるように、 \(\vec{F_1}, \vec{F_2}\) は2物体系の外部から系内部の物体に働く外力であり、 \(\vec{F_{12}},\vec{F_{21}}\) は内部の物体が互いに力を及ぼしあう内力であります。

さて、ここで作用反作用の法則から、次の関係式が成り立ちます。

\begin{align*}
\vec{F_{12}}=-\vec{F_{21}}
\end{align*}

このとき、物体1と物体2の運動方程式はそれぞれ、

運動方程式

\begin{align*}
& m_1 \frac{d^2 \vec{r_1}}{dt^2} = \vec{F_1} + \vec{F_{12}} \tag{1}\\
& m_2 \frac{d^2 \vec{r_2}}{dt^2} = \vec{F_2} + \vec{F_{21}} \tag{2}
\end{align*}

となりますね。

みなさんがもし2体問題を知らないなら、普段の問題演習でも、上の2式の通りに式を立てて、変形して解いているわけですね。
でも、この連立方程式は、2体問題の場合に限って、うまーく変数分離できて綺麗な形になるんですね。

今からそれをやるんですが、イメージとしては画像の感じです。

二体問題のイメージ

普通に運動方程式を2本立てて連立して解く場合は、個々の問題に応じた式変形が必要です。
対して、2体問題でこれから見ていく重心運動方程式、相対運動方程式というのを使うと、立式段階ですでに答えがすぐ出るような形に変形されているのです。
うざったい式変形を問題を解くたびにしなくて済むワケですね。

ではこの連立方程式を変形し、重心運動方程式と相対運動方程式というのを導出していきましょう。
変形する上で、次の概念を導入します。

導入したい概念

重心: $\vec{r_G} = \frac{m_1 \vec{r_1} + m_2 \vec{r_2}}{m_1 + m_2}$

相対位置: $\vec{r_r} = \vec{r_1} – \vec{r_2}$

特別な概念ではないので、ここでつまずくことはないと思います。相対位置というのは、いわゆる「物体2から見た物体1の位置」ですね。

重心運動方程式から重心の運動がわかる!

さて、\((1) + (2)\)を計算すると、内力は作用反作用で消えるので、

\begin{align*}
m_1 \frac{d^2\vec{r_1}}{dt^2}+m_2 \frac{d^2\vec{r_2}}{dt^2}=\vec{F_1}+\vec{F_2}
\end{align*}

つまり、左辺に重心の概念を適用すれば、次のようになります。

\begin{align*}
(m_1+m_2)\frac{d^2\vec{r_G}}{dt^2}=\vec{F_1}+\vec{F_2} \tag{A}
\end{align*}

これを重心運動方程式と言います。

式から読み取れるように、重心運動方程式からは系の重心の時間変化が分かるわけです。

\((A)\) から、重心の運動は外力によってのみ引き起こされるということがわかりますね。つまり、

ポイント

外力なし $\Leftrightarrow$ 重心速度一定

がわかります。

相対運動方程式から相対運動がわかる!

さて、2物体の運動について、重心運動方程式から重心の振る舞いがわかることが判明しました。

では、重心運動を除いた運動はどうなるのでしょうか?
これを理解するために、 \(\frac{(1)}{m_1}-\frac{(2)}{m_2}\) を計算します。
すると、ここでも作用反作用を利用して、

\begin{align*}
\frac{d^{2} \vec{r}{1}}{d t^{2}}-\frac{d^{2} \vec{r}{2}}{d t^{2}}=\left(\frac{1}{m_{1}}+\frac{1}{m_{2}}\right) \overrightarrow{F_{12}}+\frac{\overrightarrow{F_{1}}}{m_{1}}-\frac{\overrightarrow{F_{2}}}{m_{2}}
\end{align*}

となり、相対位置 \( \vec{r_{r}} \) を用いて運動方程式っぽく書き直すと、次のようになります。

\begin{align*}
\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\frac{d^2\vec{r_r}}{dt^2} = \vec{F_{12}}+\frac{m_2}{m_1+m_2}\vec{F_1}-\frac{m_1}{m_1+m_2}\vec{F_2} \tag{B}
\end{align*}

\((B)\) を、相対運動方程式と呼びます。

また、この運動方程式の質量にあたる部分は、
換算質量: \(\mu=\frac{m_{1} m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\)
と言います。

相対運動方程式 \((B)\) より、相対位置は内力に依存することがわかり、系内部の相互作用が相対運動に影響することが分かります。

(1)かつ(2) \( \Leftrightarrow \) (A)かつ(B)
ですから、重心運動方程式 \((A)\) と、相対運動方程式 \((B)\) を解くことは、元々の運動方程式を解くことと同値であるわけですね。

ポイント

2体問題では、それぞれの粒子に着目して運動方程式を立てて解くよりも、一般的な場合でもっと解きやすい形に変形してある「重心と相対に分けた形」を利用して連立方程式を立てたほうがラク!

とりあえず、ここまで流れだけさらって、

avatar
だれか

ふむふむ、とりあえず2体問題は「重心運動」と「相対運動」に分ければうまくいくのだな

と思っておいてください。

相対運動についてもう少し考えてみると

次の図をご覧下さい。

二体問題の力図

これは、最初の図に \( \vec{r_{G}} \) と \( \vec{r_{r}} \) を加えたものです。

この図から、緑色の矢印、つまり重心から見た1と2の位置について次の式が成り立ちます。

\begin{align*}
& \overrightarrow{r_{1 G}}=\overrightarrow{r_{1}}-\overrightarrow{r_{G}}=\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}} \overrightarrow{r_{r}} \\
& \overrightarrow{r_{2 G}}=\overrightarrow{r_{2}}-\overrightarrow{r_{G}}=-\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}} \vec{r}_{r}
\end{align*}

このことから、相対運動は、重心から見た各点の運動と本質的には同じものと考えることができます。(その違いはたかだか実数倍しかないということです)

つまり、相対運動の議論は、重心系での物体 1, 2 の運動の議論と実質同じであり、このことから2体問題についての大きな議論の流れが次のようにまとめられます。

2体問題の流れ

1. 重心運動がわかる(重心運動方程式)

2. 相対運動がわかる(相対運動方程式)

3. 相対運動から重心系での各点の運動がわかる

4. 重心運動と重心系での各点の運動から、各点の運動(答え)がわかる

重心系での運動について

重心系での各点の運動について、

二体問題の力図


\begin{align*}
& \overrightarrow{r_{1 G}}=\overrightarrow{r_{1}}-\overrightarrow{r_{G}}=\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}} \overrightarrow{r_{r}} \\
& \overrightarrow{r_{2 G}}=\overrightarrow{r_{2}}-\overrightarrow{r_{G}}=-\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}} \vec{r}_{r}
\end{align*}

が成り立つことは先程確認しましたが、このことから次の事実が言えます。

ポイント

重心から見た物体 1, 2 はつねに

正反対側、質量の逆比の位置にあり、

反対向き、質量の逆比の大きさの変位・速度・加速度で動く

サトゥー

これはめちゃくちゃ使えるので覚えといてください。

エネルギー計算

サトゥー

せっかくここまで考えたなら、エネルギー計算も「重心」と「相対」に良い感じに分けられるのではないか?

ということで考えてみましょうか。

2物体の系の運動エネルギーの総和 \(K\) は、各点の運動エネルギーの和で表されますから、

\begin{align*}
K & = \frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2}+\frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2} \\
& =\frac{1}{2} m_{1}\left|\overrightarrow{v_{G}}+\overrightarrow{v_{1 G}}\right|^{2}+\frac{1}{2} m_{2}\left|\overrightarrow{v_{G}}+\overrightarrow{v_{2 G}}\right|^{2} \\
& = \frac{1}{2}\left(m_{1}+m_{2}\right) v_{G}^{2}+\left(\frac{1}{2} m_{1} v_{1 G}^{2}+\frac{1}{2} m_{2} v_{2 G}^{2}\right)+\overrightarrow{v_{G}} \cdot\left(m_{1} \overrightarrow{v_{1 G}}+m_{2} \overrightarrow{v_{2 G}}\right)
\end{align*}

となります。

このうち、第1項は
重心運動エネルギー: $K_{G}=\frac{1}{2}\left(m_{1}+m_{2}\right) v_{G}^{2}$
第3項については $\left(m_{1} \overrightarrow{v_{1 G}}+m_{2} \overrightarrow{v_{2 G}}\right)=\overrightarrow{0}$ が成り立ちます。

第2項について、

\begin{align*}
& \frac{1}{2}m_1{v_{1G}}^2+\frac{1}{2}m_2{v_{2G}}^2 \\
& =\frac{1}{2}m_1|\frac{m_2}{m_1+m_2}\vec{v_r}|^2+\frac{1}{2}m_2|\frac{m_1}{m_1+m_2}\vec{v_r}|^2 \\
& =\frac{1}{2}\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}{v_r}^2 \\
& =\frac{1}{2}\mu{v_r}^2
\end{align*}

が成り立ち、これを相対運動エネルギーといいます。

以上より、エネルギーについても、重心運動と相対運動に分割して考えることができると分かりました。

\begin{align*}
& K = K_G + K_r \\
& K_{G}=\frac{1}{2}\left(m_{1}+m_{2}\right) v_{G}^{2} \\
& K_r = \frac{1}{2}\mu{v_r}^2
\end{align*}

実際に問題を解いてみよう

さて、ここまで一通り基本的な話は触れたので、次は問題をどうやって解くのかについて、実際の入試問題にチャレンジしつつ確認していきましょう。

2018 北大

今回の話題に関連するところだけ話しますので、問題は必要なところだけ載せます。

こちらの問題は、問2の(4)~(7)まで。

問題

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北大 2018
f:id:bighope-lumiere0916:20180227192352p:plain
北大 2018
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北大 2018

さて、いかがでしょうか?
(4)で出した、 \(M V+m v=0\) および (5) で出した、 \(\frac{1}{2} M V^{2}+\frac{1}{2} m v^{2}=\frac{1}{2} k d^{2}\) を普通に連立して解くのも良いですが、今の話を理解された方ならもっと簡単に解けることが分かりますね。

こんな感じ。

 答え(案)

f:id:bighope-lumiere0916:20180227192806p:plain

はい、次。

2018 東大

東大は2体問題の問題が多いので、東大受験生は2体問題に習熟しているかで物理のクオリティに差が出やすいと思います。ホントに。

ちょっと問題が長いですが、せっかくですから全部やってみてください。

サトゥー

25分でできれば東大受かります

問題

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東大 2018
f:id:bighope-lumiere0916:20180227203241p:plain
東大 2018
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東大 2018
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東大 2018
f:id:bighope-lumiere0916:20180227203252p:plain
東大 2018
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東大 2018

さて、こちらはいかがでしたでしょうか。僕の考えた回答も貼っときます。
今回紹介した知識を使った部分には緑の波線が引いてあります。

答え(案)

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東大 2018
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東大 2018

この東大の問題は、2体問題だけを問われた問題というわけではありませんが、2体問題の考え方を知っているか(つまり、重心系でものを見ることに習熟しているか)が大きな差になるのではないかと思います。

最後にこの記事の要点まとめとして制作した画像を載せておきます。保存して好きに使ってください。

参考

最後に、今回2体問題の記事を書くにあたって参考にしたサイトです。
2体問題についてもっと知りたい方はぜひこちらもみてください。

コメント返信

にっきー

2体問題めちゃ分かりやすく説明していただいて、考えを整理できましたありがとうございます!質問なんですが、東大の問題の、Ⅱの(1)では、どうして2θだと言えるのですか?

サトゥー

お役に立てたようで嬉しいです。

質問の回答になりますが、「図形的対称性」といえば理解していただけますでしょうか。古典物理は基本的に条件が簡単な数式で表せるような理想的な状況を扱うことが多い(とくに入試の現場では)ので、このような図形的対称性が使える場面が少なくありません。今回でいえば、見かけの重力加速度がθ方向に働いていますから、これが振動中心となるような振動をするだろうと考えることができると思います。

にっきー

そういうことですか!本当にありがとうございました‍。


あらい

参考にすごくなります!2018東大の(1)の最初に重心速度0とありますがなぜなのですか?おもりに加えた位置エネルギーは外力となり重心速度が変わるような気がします。無知ですいません

サトゥー

本問では、小球と糸と台を一つの系として扱っていますので、あらいさんのご指摘はあくまで系内での作用になり外力にはなりません。
「どこまでを一つの系として扱うか」に関しては、最初は感覚を掴むのが難しいかもしれませんが、何問か理解して解くうちに自然と分かってくるかと思います。
そうなってくると、この記事で書いてあることが「当たり前のこと」として理解できるようになり、入試問題程度なら簡単に解けるようになると思います。引き続き勉強頑張ってください。


オカダ

重心速度が0とありますが張力は外力ではないでしょうか。。。また台と球の二体系で考えているので内力ということでしょうか?

サトゥー

コメントありがとうございます。わかりにくくて申し訳ありません。糸も系内です。台、糸、球の3つを系として見ています。


コメント

本記事の知識を実際にこの問題( http://jukenkaisetsu.blog.fc2.com/blog-entry-480.html?sp )で使ってみようと思ったのですが、問6でmgh=0+1/2 μv´^2、v´=2/3√6ghとしてみたところ解答と合わなかったのですがどこがまずいのでしょうか。

対価もはらわず関係無い質問してすみません、無視していただいてもかまいませんのでm(_ _)m

サトゥー

コメントありがとうございます。問題を全部読んでいないので、見当違いのことを書いていたらまた指摘して欲しいのですが、この場合は小物体が鉛直方向に外力を受けているので、水平方向には重心不動ですが、鉛直方向には重心が動いてしまっていると思います。そのため、問6の貴方の回答は水平方向のみを考慮した場合の相対速度の大きさになってしまっているのではないか、と思います。

コメント

なるほど…台は上下に動かないのに方向考えずに立式しててめちゃくちゃな解答でしたね、わざわざありがとうございましたm(_ _)m

サトゥー

いえ、私も一度はミスしたことがあるパターンですので(笑)、試験本番では気をつけてみてくださいね。


サイトウ

北大の問題でv-V>0と言えるのはなぜですか?

サトゥー

コメントありがとうございます。

物体がバネから受ける力は図から正方向とわかるので、台はもちろん逆向きの負方向に力をうけ、総合的にv-V=正-負=正となります。

『「図から」とかずるいだろ〜!』と思われるかもしれませんが、物理(特に力学)と数学は図から直感的に分かり、数式をサポートできるというこの点において決定的に違う科目だと思っています。(もちろん数学的に示すことも可能でしょうが、面倒だし本問においてはそこは枝の部分の議論でしかないというか。)


コメント

とても参考になりました!しかし、使いこなせる自信がないなら誘導された時以外は重心系などの知識は用いない方が無難ですよね?

サトゥー

コメントありがとうございます。そうですね、無難かどうかと聞かれれば無難ですね。
まぁこの辺は「掛け算使いこなせる自信ないので僕は足し算使うんです」みたいな話と言ってることが同じなので、もし余裕があるなら(試験本番以外で)何度か使っていて使い慣れておくと武器になります。足し算しか使えない人と掛け算も使える人だったら掛け算使える人の方が圧倒的に見える世界が広くなりますから。自分に残された時間と相談しながらやってみてください。


コメント

m1v1G+m2v2G=0は常に成り立ちますか?それとも成立条件がありますか?

サトゥー

定義より次のように式変形することができます。

$\displaystyle m_1 \vec{v_{1G}} + m_2 \vec{v_{2G}} = m_1 \frac{d \vec{r_{1G}}}{dt} + m_2 \frac{d \vec{r_{2G}}}{dt} = m_1 \frac{m_2}{m_1 + m_2} \frac{d \vec{r_r}}{dt} + m_2 (- \frac{m_1}{m_1 + m_2}) \frac{d \vec{r_r}}{dt} = 0 $

よって、記事のように文字を定義すれば基本的に常に成り立つことが分かります。

サトゥー

追加で定性的な説明をしておきます。

この量 $\displaystyle m_1 \vec{v_{1G}} + m_2 \vec{v_{2G}}$ は、重心系でみたときの運動量になります。重心系は重心に対して静止した座標系ですから、当然ながら、重心から見たとき、重心は動きません。よって、この量は0で一定となります。

コメント

詳しくありがとうございます。理解できました。この結果は、外力なし⇔重心速度一定のように覚えておくべきですか?

サトゥー

$\displaystyle m_1 \vec{v_{1G}} + m_2 \vec{v_{2G}} = 0$ という結果は、一応ブログ記事内で『重心から見た物体1,2は常に正反対側、質量の逆比の位置にあり、反対向き、質量の逆比の大きさの変位・速度・加速度で動く』という形でまとめられているので、そのように記憶しておくと色々便利かと思われます。


コメント

東大の1(1)は水平方向の重心速度は不変ですが鉛直方向は重力の仕事によって変化しますよね?それなのに重心運動エネルギーは不変として良いのでしょうか

サトゥー

解答ががわかりにくく申し訳ありません。

こちらの問題ですが、確かに鉛直方向の重心位置は不変ではありません。

立式したタイミング(小球が最下点を通過するときおよび手を離した瞬間)において、重心は(たまたまどちらも)鉛直方向に静止しており、水平方向には常に静止していることから、重心運動エネルギーは結果として前後で変化せず、位置エネルギー変化分(右辺)は結果として全て相対運動エネルギーに変化することがわかります。


コメント

二体問題の定義?について質問です。
始めくっついていて途中で離れる問題はくっついているギリギリまでは二体問題なのでこのサイトのやり方でエネルギーや速度が追えるけど離れてから二体問題じゃなくなるので追えないという認識で合っていますか?例えばバネの上に重りを乗せて重りが打ち上げられたり、滑り台の上に球を置いて転がってったり

サトゥー

離れていても重心と相対に着目して式を立てれば二体問題としての立式自体は可能ですよ。(天体運動とか、そもそもくっついてないですよね)

基本的に扱う物体が2体あるときは二体問題として扱えますが、一方で、相互作用がそもそも(近似的に)無い場合は、わざわざ重心と相対に分けて計算する必要がなく、個々の物体に着目して立式すればよいわけです。

質問者さまの例に挙がっているバネの上におもりが乗っている例や、すべり台の問題については、「相互作用を及ぼしているうちは二体問題として扱ったほうが楽だが、そうでない場合は二体問題として扱えるけどメリットが無い場合が多い」と回答できると思います(わかりにくくてすみません、実際に式いじってみると理解していただけるかと思われます…)

コメント

返信ありがとうございます!いえ、分かりやすい説明で納得できました。二体問題の演習頑張ります!


s

東大Ⅱ(2)において小球が速度at0で動いている理由もしくは、(相対速度)=0の理由を教えてください。それが分かれば自然に(重心速度)=a・t0も出てくるのですが、

サトゥー

相対速度が 0 になる理由は、小球の高さが最大になるタイミングで、小球は台に対して静止していると考えられるからです。


s

東大の問題で、重心速度が0となる理由はなんでしょう。台や小球に働く重力、台に働く垂直抗力は外力にならないのですか。

サトゥー

1(1) についてですが、他で返信したコメントの通り、立式したタイミング(小球が最下点を通過するときおよび手を離した瞬間)において、重心は(たまたまどちらも)鉛直方向に静止しており、水平方向には常に静止していることから、重心運動エネルギーは結果として前後で変化せず、位置エネルギー変化分(右辺)は結果として全て相対運動エネルギーに変化することがわかります。重力や垂直抗力は外力になるという認識で合っています。


ぎぎぎ

これらの公式は記述式で断りなしに用いても良いのでしょうか?

サトゥー

個人的には断り無しで用いても良いのではないかと思っています(二体問題は割と一般的なトピックではあるので…)

どうしても不安でしたら、変形前の連立方程式を書いてから(こねこねいじったことにして)重心運動・相対運動に分けた方程式を書けば問題ないと思います。


じーま

私の受験は10年前で、あんまりちゃんと勉強していなかったんですが、今受けてる資格試験で物理の復習が必要になり、色々調べていたらSatooさんのブログに辿り着きました。当時は全く理解できなかった2体問題がこの記事で初めて腑に落ちました。ありがとうございます。苑田先生の授業を受けてみたくなりました。

サトゥー

良かったです!こちらこそ読んでいただきありがとうございます。


この記事を書いた人

サトゥー

東大学際情報学府M1。情報科学と教養の海に溺れています。面白いことをやるのがすきです。

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